LOGIKA MATEMATIKA
A. Logika Matematika
Dalam logika matematika terdapat istilah sebagai berikut:
1. Pernyataan
(kalimat tertutup) adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
2. Kalimat
terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah (variabel), sehingga belum
dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
3. Ingkaran
(negasi), yaitu suatu pernyataan baru yang dikonstruksi dari pernyataan semula
sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika
pernyataan semula benar(dilambangkan dengan ~)
Tabel kebenarannya
P
|
̴ q
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B. Penghubung Pernyataan
Untuk logika matematika ada 5 macam
penghubung pernyataan, yaitu: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
Ada kalanya, kita dituntut untuk menegasikan atau
membuat pernyataan baru yang menunjukkan pengingkaran atas pernyataan yang ada,
dengan menggunakan perakit “bukan” atau “tidak”. Di samping itu, mereka harus
menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit “atau”,
“dan”, “jika ... maka”, maupun “jika dan hanya jika ... ” yang dikenal di
matematika sebagai konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Kata
hubung kalimat disebut juga sebagai perakit atau perangkai dengan
operasi-operasi di atas. Bagian ini akan membahas perakit-perakit tersebut
.
1.
Negasi
Jika p adalah “Surabaya ibu kota Jawa Timur.”, maka
negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah p yaitu: “Surabaya bukan ibu kota
Jawa Timur.” Dari contoh tersebut nampak jelas bahwa p merupakan pernyataan
yang bernilai benar karena Surabaya pada kenyataannya memang ibu kota Jawa
Timur, sehinggapakan bernilai salah. Namun jika
p bernilai salah maka p akan bernilai benar seperti ditunjukkan oleh tabel kebenaran di bawah
ini.
P
|
p
|
B
S
|
S
B
|
2.
Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang
menggunakan perakit “dan”. Contohnya, pernyataan Adi berikut:
“Fahmi
makan nasi dan minum kopi.”
Pernyataan tersebut ekivalen
dengan dua pernyataan tunggal berikut: “Fahmi makan nasi.” dan “Fahmi minum
kopi.”
Pernyataan Adi bernilai benar dan
dalam hal mana bernilai salah dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi
memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi, (2)Fahmi makan nasi namun ia
tidak minum kopi, (3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi
tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.:
Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi
dan ia juga minum kopi.
Dalam
kasus seperti ini tidaklah mungkin pernyataan Adi tadi bernilai salah.
Alasannya,
pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan
nasi namun ia tidak minu kopi. Dalam hal ini tentunya pernyataan Adi tadi
bernilai salah karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi
sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga, Fahmi
tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi,
pernyataan Adi tadi bernilai salah bahwa fahmi tidak makan nasi sebagaimana
yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi. Akhirnya pada kasus
keempat, Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Dalam hal ini; pernyataan
majemuk Adi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan
dengan kenyataan yang sesungguhnya.
Berdasarkan
penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∩ q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p
maupun q, keduanya bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu
akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p
|
q
|
p ∩ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
3.
Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “atau”. Contohnya,
pernyataan Adi berikut: ”Fahmi makan nasi atau minum kopi.” Pernyataan
Adi dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia
juga minum kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, (3) Fahmi
tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia
tidak minum kopi.
Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum
kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin pernyataan Adi bernilai salah,
karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi
makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini, tentunya pernyataan Adi
tadi bernilai benar karena Fahmi sudah benar makan nasi, meskipun ia tidak
minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sedangkan pada kasus ketiga, Fahmi
tidak makan nasi namun ia minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, pernyataan
majemuk Adi tadi bernilai benar karena meskipun Fahmi tidak makan nasi namun ia
sudah minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Akhirnya pada kasus keempat,
Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini pernyataan
pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara
yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Ia menyatakan Fahmi makan
nasi atau minum kopi namun kenyataannya, Fahmi tidak melakukan hal itu.
Berdasarkan penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi
p U q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun
q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana
ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p
|
q
|
p U q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
4.
Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan
p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah
menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q
bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata
“jika” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan pula kata “maka” diantara
pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga di dapatkan satu pernyataan
majemuk yang disebut implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau
hypothetical dengan notasi ” p⇒q” Seperti ini:
p⇒q
p⇒q
Notasi diatas dapat dibaca dengan:
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q, atau
4. q adalah syarat cukup untuk p.
Implikasi p⇒q merupakan
pernyataan majemuk yang paling sulit dipahami. Oleh karena itu, hal ini dapat
dipelajari dengan pernyataan majemuk berikut:
Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung.
Dalam hal ini dimisalkan :
p: Hari hujan.
q: Adi
membawa payung.
Ada empat kasus berikut:
1. hari benar-benar hujan dan Adi
benar-benar membawa payung,
2. hari benar-benar hujan namun Adi
tidak membawa payung,
3. hari tidak hujan namun Adi membawa
payung,
4. hari tidak hujan dan Adi tidak
membawa payung,
Pada kasus
pertama, hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung sebagaimana
yang dinyatakan. Dengan demikian, jelaslah bahwa kedua komponen sama-sama
bernilai benar itu telah menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang
dinyatakan Adi tadi bernilai benar. Pada kasus kedua, hari itu benar-benar
hujan akan tetapi Adi tidak membawa payung, sebagaimana seharusnya yang ia
lakukan seperti yang telah dinyatakannya, sehingga pernyataan kedua bernilai
salah. Dengan kata lain, komponen p yang bernilai benar namun tidak diikuti
dengan komponen q yang seharusnya
bernilai benar juga, akan menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi)
yang dinyatakan Adi tadi akan bernilai salah.
Akhirnya,
untuk kasus ketiga dan keempat, di mana hari itu tidak hujan, tentunya anda
tidak akan menyebut pernyataan mejemuk (implikasi) Adi tersebut sebagai
pernyataan yang salah, karena Adi hanyalah menyatakan bahwa sesuatu akan
terjadi yaitu dia akan membawa payung jikalau hari hujan. Dengan demikian
jelaslah bahwa implikasi p⇒q hanya akan bernilai salah untuk kasus
kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang
selain itu implikasi p⇒q akan bernilai benar seperti
ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
P
|
q
|
p⇒q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
5.
Biimplikasi
Biimplikasi atau
bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang
dinotasikan dengan p⇔q yang bernilai sama dengan (p⇒q) ∩ (q⇒p) sehingga dapat dibaca :” p jika dan
hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Tabel kebenaran dari p⇔q adalah:
p
|
q
|
p⇔q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Dengan
demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pertanyaan p dan q hanya akan bernilai
benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama. Contoh biimplikasi:
a) Suatu segitiga adalah segitiga
siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan
jumlah luas daripersegi-persegi pada kedua sisi yang lain
b) Suatu segitiga adalah segitiga
sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
C. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan
1. Negasi suatu konjungsi
Konjungsi
adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “dan”.
Contohnya, pernyataan Adi
berikut:
“Fahmi makan nasi dan minum
kopi”.
Pernyataan tersebut ekivalen
dengan dua pernyataan tunggal berikut: “Fahmi makan nasi”. Dan sekaligus “Fahmi
minum kopi”. Suatu konjungsi p Ʌ q akan bernilai benar hanya jika
komponnen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar.
Sedangkan negasi atau ingkaran suatu
pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya
bernilai salah dan bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar.
Karena itu negasi dari “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu
majemuk lain yang salah satu komponennya
merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Dengan demikian, negasinya
adalah “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.
Sebagaimana ditunjukkan tabel
kebenaran berikut:
p
|
q
|
p ∩ q
|
̴ p
|
̴ q
|
̴ p U ̴ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
S
B
B
B
|
2. Negasi suatu Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan mejemuk
yang mungkin perakit “atau”.Contohnya, pernyataan Adi berikut: “Fahmi makan
nasi atau minum kopi”. Suatu disjungsi p U q akan bernilai salah hanya
jika komponen-komponennya yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang
selain itu akan bernilai benar. Karenanya, negasinya adalah “Fahmi tidak makan
nasi dan tidak minum kopi”. Sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran
berikut:
p
|
q
|
p U q
|
̴ p
|
̴ q
|
̴ p ∩ ̴ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
S
S
S
B
|
3.
Negasi suatu implikasi
Perhatikan
pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi:
“ jika hari hujan maka Andi membawa
payung”
Negasi dari implikasi di atas adalah :
“ hari hujan akan tetapi Andi
tidak membawa payung”.
Sehingga ̴ ( p⇒q) p ∩ ̴ q seperti ditunjukkan tabel kebenaran
ini:
p
|
q
|
̴ q
|
p⇒q
|
p ∩ ̴ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
S
B
S
S
|
Berdasarkan penjelasan di atas, p⇒q ̴[ ̴(p⇒q)] ̴(p ∩ ̴ q) ̴ pUq
4. Negasi suatu biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua
pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p⇔q yang ekivalen (p⇒q) ∩ (q⇒p); sehingga
̴(p⇔q)
̴
[(p⇔q) ∩ (q⇒p)]
̴ [(˜p U q) ∩ ( ̴ q U p)]
̴ ( ̴ p U q) U ̴ ( ̴ q U p)
(p ∩ ̴ q) U (q ∩ ̴ p)
PENUTUP
Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat ditarik dari pembahasan diatas adalah:
Untuk
logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan, yaitu:
a. Konjungsi
Konjungsi merupakan operasi yang menggabungkan dua
pernyataan menjadi satu. Kata hubung yang digunakan adalah dan, serta, lalu,
kemudian, walaupun, meskipun, dan sebagainya. Konjungsi dilambangkan dengan
“∩”.
b. Disjungsi
Disjungsi merupakan operasi yang menggabungkan dua
pernyataan menjadi satu. Kata hubung yang digunakan adalah “atau”. Ada
dua macam disjungsi, yaitu disjungsi inklusif yang artinya tercakup atau
terhitung (diberi lambang “U” ) dan disjungsi eksklusif yang artinya tidak
tercakup (diberi lambang “U” ).
c.
Implikasi
(kondisional)
Implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan
dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika ... maka ... “ yang
dilambangkan dengan “p⇒q”.
d. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk
dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p⇔q yang bernilai sama dengan (p⇒q) Ʌ (q⇒p) sehingga dapat dibaca :” p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya
bila q”.
e. Negasi
Ingkaran (negasi), yaitu suatu pernyataan baru yang
dikonstruksi dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan
semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar (dilambangkan
dengan ~).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar