program Linier : Metode Grafik

Linear Programming : Metode Grafik

Linear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalain mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.

Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.

Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :

1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi

2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3. ada beberapa alternatif penyelesaian

4. hubungan matematis bersifat linear

Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:

1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.

2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fimgsi kendala.

3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.

4. divisibility Coisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.

5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif.

Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan lantuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua. Sedangkan metode simpleks bisa digu-nakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan dua atau lebih.

Dalam Bab I ini, akan dibahas Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi tujuan baik maksimum maupun minimum. Fungsi tujuan maksimum akan diuraikan pada topik I sedang fungsi tujuan minimum akan diuraikan pada topik II.

Dengan mempelajari modul ini dengan baik dan benar, diharapkan Anda dapat memahami pennasalahan Linear Programming dengan metode grafik.

Setelah mempelajari medul ini diharapkan anda dapat:

1. Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan

2. Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming

3. Menyelesaikar. permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik

4. Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy.

Linier Programming dengan Metode Grafik :

Fungsi Tujuan Maksimisasi

A. FORMULASI PERMASALAHAN

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variahel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi pennasalahan adalah :

1. pahamilah secara menyelwuh pennasalahan manajerial yang dihadapi 2. identifikasikan tujuan dan kendalanya

3. definisikan variabel keputusannya

4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis.

Sebagai contoh dalam memfonnulasikan pennasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit n:eja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.

Namun untuk meraih keuntungan tersebut Kr;_sna. Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk peinbuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan ~-mtuk pengecatan 1 unit kursi dibiatuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia ur.tuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja un-,uk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan darn pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tarnpak sebagai berikut:

TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Krisna Furniture

	Jam kerja untuk membuat 1 unit produk		Total waktu tersedia per minggu
	Meja	Kursi
Pembuatan	4	8	240
Pengecatan	2	1	100
Profit per unit	7	5

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan k-ursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).

Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.

1. Fungsi Tujuan

Tujuan perusshaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut :

P = ($7 x jamlah meja     +($5 x jumlah kursi

Yang diproduksi)              yang diproduksi)

Atau secara matematis dapat dituliskan : Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2

2. Fungsi kendala

Berkaitan dengan sumber daya vang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan.

Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan Xl (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

4 X1 + 3 X2 <_>

Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (me)'a) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

2X1 + 1 X2 <>

Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa

X1 > 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

X2 > 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai

berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimisasi Z = $7X1 + $SX2. Fungsi kendala :

4 X1 + 3 X2 <>

2X1 + 1 X2 <>_ 0 (kendala non negatif pertama)

X2 >, 0 (Kendala Non Negatif kedua )

B. PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK

Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.

4X1+3X2 = 240

Kend,qla ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.

Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk mengaambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat Xl = 0.

Kendala I: 4 XI + 3 X2 = 240

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 4X1+0=240

Xl = 240/4 Xl = 60.

memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 3 X2 = 240

X2 = 240/3 X2 = 80

Kendala I memotong sumbu Xl pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,80)

Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0

2X1+0=100

Xl = 100/2

XI = 50

memotong sumbu X2 pada saat X1 =0

O+X2=100

X2 = 100

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,100).

Peraga 1.1. Grafik Area Layak

(not available)

X2=100-2X1

4 X1 + 3 X2 = 240 4X1+3(100-2X1)=240

4X1+300-6X1      =240

-2X1 =240-300   

-2X1=-60             

X1 = -60/-2 = 30.              

X2=100-2X1       

X2 = 100 - 2 * 30               

X2=100-60          

X2 = 40 

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

Tanda <>

Untuk menentakan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 1. dengan menggunakan garis profit (iso profit linc) 2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalaha penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien Xl) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu Xl pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).

Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II(karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala 11). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai Xl = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari

hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi Xl sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.

Peraga 1. 2. Iso profit line

(not available)

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dar: titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O(0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh ketuitungan optimal sebesar 410.