Delfi Suryani: Program Linier : Metode Simpleks

Metode Simpleks

A. Pengantar Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan sebuah metode lanjutan dari metode grafik. Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan manajemen yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar, sehingga untuk menyelesaikannya dibutuhkan sebuah metode yang lebih kompleks yaitu dengan menggunakan program komputer QSB ( Quantitative System For Business) atau menggunakan metode simpleks. Dalam kenyataanya penggunaan komputer lebih efisien, akan tetapi metode dasar yang digunakan dalam pengoperasian komputer tetap metode simpleks.

Metode simpleks adalah metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan manaterial yang telah diformulasikan terlebih dahulu ke dalam persamaan matematika program linear yang mempunyai variable keputusan mulai dari lebih besar atau sama dengan 2 (dua) sampai multivariable. Sedangkan metode grafik hanya dapat digunalan apabila jumlah variable keputusan maksimal 2 (dua) buah. Sehingga dapat disimpulkan bahwa suatu persoalan linear programing yang diselesaikan dengan metode grafik juga dapat diselesaikan dengan metode simpleks, sebaliknya suatu persoalan yang hanya bisa diselesaikan dengan metode simpleks tidak dapat diselesaikan dengan metode grafik. Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan (NK) merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Nilai kanan (NK) fungsi tujuan harus nol (0).

2. Nilai kanan (NK) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harusdikalikan –1.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

B. Bentuk Baku

Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).

Perhatikan pula kasus berikut :

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 2X₁ + 3 X₂

Kendala : 10 X₁ + 5 X₂ ≤ 600

6 X₁+ 20 X₂ ≤ 600

8 X₁ + 15 X₂ ≤ 600

X₁, X₂≥ 0

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut :

Maksimumkan : z = 2 X₁+ 3X₂ + 0S₁ + 0S₂+ 0S₃

Fungsi Kendala : 10 X₁ + 5 X₂ + S₁ = 300

6 X₁ + 20 X₂+ S₂ = 700

8 X₁ + 15 X₂ + S₃ = 600

X₁, X₂ , S₁ , S₂, S₃ ≥ 0

S₁ , S₂, S₃ merupakan variable slack.

C. Pembentukan Tabel Simpleks

Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel. Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal. Gunakan kasus di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :

VB	X₁	X₂	S₁	S₂	S₃	NK
Z	-2	-3	0	0	0	0
S₁	10	5	1	0	0	300
S₂	6	20	0	1	0	700
S₃	8	15	0	0	1	600

D. Langkah-Langkah Penyelesaian

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :

1. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimisasi , maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

2. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabl keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.

3. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

4. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.

5. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no. 2 , jika sudah optimal baca solusi optimalnya.

E. Contoh Soal

Contoh 1

Maksimum z = 8 X₁ + 9 X₂+ 4 X₃

Fungsi Kendala : X₁+ X₂ + 2 X₃ ≤ 2

2 X₁ + 3 X₂ + 4 X₃ ≤ 3

7 X₁+ 6 X₂ + 2 X₃≤ 8

X₁, X₂, X₃≥ 0

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini :

1. Mengubah fungsi tujuan

z = 8 X₁ + 9 X₂+ 4 X₃+ 0S₁ + 0S₂ + 0S₃ atau

z - 8 X₁ - 9 X₂- 4 X₃ - 0S₁ - 0S₂ - 0S₃ = 0

2. Mengubah fungsi batasan

X₁+ X₂ + 2 X₃ + S₁ = 2

2X₁ + 3 X₂ + 4 X₃ + S₂ = 3

7X₁+ 6 X₂ + 2 X₃+ S₃ = 8

X₁, X₂, X_3,S₁, S_2, S₃ ≥ 0

3. Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simpleks. Sehingga :

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-8	-9	-4	0	0	0	0
S₁	1	1	2	1	0	0	2
S₂	2	3	4	0	1	0	3
S₃	7	6	2	0	0	1	8

4. Menentukan Kolom Kunci/Pivot.

Lihat baris Z lihat nilai yang terkecil.

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-8	-9	-4	0	0	0	0
S₁	1	1	2	1	0	0	2
S₂	2	3	4	0	1	0	3
S₃	7	6	2	0	0	1	8

Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -9 pada kolom X₂ jadi, kolom X₂adalah kolom kunci/Pivot, sehingga :

5. Menentukan Baris Kunci/Pivot

Baris kunci diketahui dari nilai indeks (Rasio) yang terkecil. Rasio = NK/Kolom Pivot

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-8	-9	-4	0	0	0	0	0
S₁	1	1	2	1	0	0	2	2
S₂	2	3	4	0	1	0	3	1
S₃	7	6	2	0	0	1	8	8/6

Jadi nilai rasio terkecil adalah 1 (selain Z), sehingga baris kuncinya / baris pivot ada pada S₂

6. Mencari angka Kunci/ Elemen Pivot

Angka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Jadi angka kunci diperoleh adalah 3

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-8	-9	-4	0	0	0	0	0
S₁	1	1	2	1	0	0	2	2
S₂	2	3	4	0	1	0	3	1
S₃	7	6	2	0	0	1	8	8/6

7. Membuat Baris Baru Kunci (BBK)

Karena nilai kunci berada pada kolom X₂, maka baris S₂kita ubah namanya menjadi X₂, dan nilai-nilai pada baris S₂kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci. Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x₁) :

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z
S₁
X₂	2/3	3	4/3	0	1/3	0	1	1
S₃

8. Mencari baris baru selain baris kunci/pivot.

Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci)

Baris Z :

-8 -9 -4 0 0 0 0

-9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

-2 0 8 0 3 0 9

Baris S₁ :

1 1 2 1 0 0 2

1 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

Baris S₃:

7 6 2 0 0 1 8

6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

3 0 -6 0 -2 1 2

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-2	0	8	0	3	0	9	-
S₁	1/3	0	2/3	1	-1/3	0	1	3
X₂	2/3	1	4/3	0	1/3	0	1	3/2
S₃	3	0	-6	0	-2	1	2	2/3

9. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks yang baru (iterasi 1)

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-2	0	8	0	3	0	9	-
S₁	1/3	0	2/3	1	-1/3	0	1	3
X₂	2/3	1	4/3	0	1/3	0	1	3/2
S₃	3	0	-6	0	-2	1	2	2/3

10. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkah-langkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.

Variabel masuk dengan demikian adalah X₁, variabel keluar adalah S₃serta elemen pivot yaitu 3 . Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK
Z	0	0	4	0	5/3	2/3	31/3
S₁	0	0	4/3	1	-1/9	-1/9	7/9
X₂	0	1	8/3	0	5/3	-2/9	5/9
S₃	1	0	-2	0	-2/3	1/3	2/3

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !

Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian tinggi, khususnya jika angka yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum,

S₁ = 2/3

X₂= 7/9

S₃ = 5/9

Z = 31/3

Contoh 2 :

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 50 X₁ + 20 X₂ + 30 X₃.

Fungsi Kendala :2X₁+ 3X₂ ≤ 1000

3 X₁ + 2 X₂ ≤ 2100

X₂ + 5 X₃ ≤ 1500

Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini :

1. Mengubah fungsi tujuan.

Z - 50 X₁ - 20x₂ - 30x₃ = 0

2. Mengubah fungsi batasan

2 X₁+ 3 X₂+ 0 X₃+ S₁ = 1000

3 X₁ + 0X₂+ 2 X₃ + S₂= 2100

0 X₁+ X₂ + 5 X₃ + S₃ = 1500

3. Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simpleks. Sehingga :

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-50	-20	-30	0	0	0	0
S₁	2	3	0	1	0	0	1000
S₂	3	0	2	0	1	0	2100
S₃	0	1	5	0	0	1	1500

4. Menentukan kolom kunci/pivot.

Lihat baris Z lihat nilai yang terkecil.

Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -50 pada kolom X₁ jadi, kolom X₁adalah kolom kunci/pivot, sehingga

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-50	-20	-30	0	0	0	0
S₁	2	3	0	1	0	0	1000
S₂	3	0	2	0	1	0	2100
S₃	0	1	5	0	0	1	1500

5. Menentukan Baris Kunci (BK)

Baris kunci diketahui dari nilai indeks / Rasio yang terkecil. Rasio = NK/Kolom Pivot

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-50	-20	-30	0	0	0	0
S₁	2	3	0	1	0	0	1000	500
S₂	3	0	2	0	1	0	2100	700
S₃	0	1	5	0	0	1	1500	Tak terhingga

Jadi nilai terkecil adalah 500, sehingga baris kuncinya ada pada S₁

6. Mencari angka Kunci/pivot

Angka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Jadi angka kunci diperoleh adalah 2.

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	-50	-20	-30	0	0	0	0
S₁	2	3	0	1	0	0	1000	500
S₂	3	0	2	0	1	0	2100	700
S₃	0	1	5	0	0	1	1500	Tak terhingga

7. Membuat Baris Baru Kunci.

Karena nilai kunci berada pada kolom X₁, maka baris S₁kita ubah namanya menjadi X₁, dan nilai-nilai pada baris S₁kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci.Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x₁) :

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z
X₁	1	3/2	0	1/2	0	0	500
S₂
S₃

8. Mencari baris baru selain baris kunci.

Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci)

Baris Z :

-50 -20 -30 0 0 0 0

-50 ( 1 3/2 0 1/2 0 0 500 ) -

0 55 -30 25 0 0 25000

Baris S₂ :

3 0 2 0 1 0 2100

3 ( 1 3/2 0 1/2 0 0 500 ) -

0 -9/2 2/3 -3/2 1 0 600

Baris S₃:

0 1 5 0 0 1 1500

0 ( 1 3/2 0 1/2 0 0 500 ) –

0 1 5 0 0 1 1500

9. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks yang baru (iterasi 1).

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	0	55	-30	25	0	0	25000
X₁	1	3/2	0	1/2	0	0	500
S₂	0	-9/2	2	-3/2	1	0	600
S₃	0	1	5	0	0	1	1500

10. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkah-langkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.

VB	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	NK	Rasio
Z	0	55	-30	25	0	0	25000	-83,333
X₁	1	3/2	0	1/2	0	0	500	Tidak terdefinisi
S₂	0	-9/2	2	-3/2	1	0	600	300
S₃	0	1	5	0	0	1	1500	300

Variabel masuk dengan demikian adalah X₃, variabel keluar adalah S₃serta elemen pivot yaitu 5 . Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :